المؤلفون / Authors
الملخص / Abstract
الكلمات المفتاحية / Keywords
أقسام الملف
1-المقدمة
2-أولاً: الشبكة
3-تابع الانتقال
4-ثانياً: الشبكة
5-النتائج والمناقشة
6-المراجع |
نموذج شبكي للاستخدام في عمليات تركيب النظم متغيرة البنية |
| Network model for use in synthesis of change structure systems |
| الناشر : جامعة دمشق |
| |
| |
أ. م. د. عماد فتاش |
| Dr. Imad Fattash |
| |
| |
|
| |
الملخص
ندرس في هذا العمل نمط جديد من الشبكات المتعددة المهام (الأطوار) التي تبرز عند تركيب النظم ذات البنية المتغيرة (مثل الريليه، الفلاتر، نظم آليات نقل الحركة وغيرها)، والتي تستخدم كنماذج بنيوية لهذه النظم عند عملية التركيب. تمت دراسة نمطين كمثالين عن هذا ونواة للتعميم فيما بعد. كما درست بعض المميزات العددية لهما التي يمكن أن تستخدم عند نمذجة وتمثيل هذه النظم خصوصاً ما هو متعلق بإيجاد العدد الأعظمي للقيم المختلفة لتابع النقل عند دراسة المسارات من مداخل الشبكة إلى مخارجها مولدة القيم المختلفة لهذا التابع. يسمح ذلك بإعطاء امكانية لإيجاد حل لمسائل تطبيقية هندسية عديدة وإيجاد العدد الأعظمي للحالات التي يمكن ان يكون فيها النظام وتغير بنيته أثناء العمل. كل ما هو متعلق بالنظريات والنتائج والمميزات متضمن في البحث المقدم.
|
| |
 |
| |
الكلمات المفتاحية: الشبكة، تابع الانتقال، المسار، تركيب النظم |
| |
|
| |
Abstract
In this work, I study a new of multifunctional networks that emerge during synthesis systems with a change structure (such as relays, electronic filters, transmission systems, etc.), which are used as structural models for these systems during the synthesis process. Two types were studied as examples of this as a base for generalization regarding after. I also studied some of their numerical characteristics that can be used when modeling and representing these systems, especially what is related to finding the maximum number of different values of the transmission function when studying the paths from inputs network to its outputs, generating the values of the transmission function for different cases. This allows giving the possibility to find a solution to some applied engineering problems and to find the maximum number of cases in which the system can be and change its structure during work. Everything related to the results and characteristics is included in the presented paper
|
| |
|
| |
Keywords: Network, Transmission Function, Path, Synthesis Process |
| |
|
| |
1 المقدمة: |
| |
إن الشبكة (النظام) المتعددة المهام (الأطوار) هي الجملة الرباعية Σ= <S,G,P,f>: |
| |
S: مجموعة مداخل الشبكة |S|=m، |
| |
P: مجموعة مخارج الشبكة |P|=n، |
| |
G: بيان الشبكة الموزون، |
| |
f: تابع الانتقال من مداخل الشبكة إلى مخارجها. |
| |
سيتم استخدام هذه الأدوات الأربع الأساسية في وصف الشبكة المتعددة المهام وتحديد عملها. |
| |
في البيان G=(V,E) لهذه الشبكة وتكون V مجموعة عقد الشبكة بما في ذلك عقد الدخل والخرج، أما E=A+U فهي مجموعة الأضلاع. |
| |
نعرف المكون التتابعي في هذه البيانات التي ندرس على أنه مجموعة جزئية D_k (k=1,2,⋯,d) من عناصر (أضلاع) A حيث  . أما مجموعة الاضلاع U فتربط عناصرها المكونات التتابعية الواردة في الشبكة مع بعضها في البيان من خلال أضلاع من عناصر المجموعة U. |
| |
|
| |
لننظر في بعض أنواع هذه الشبكات المتعددة المهام ولندرس أيضًا بعضاً من صفاتها العددية والبنيوية. |
| |
|
| |
.2 أولاً: الشبكة  |
| |
حيث إن لهذه الشبكة مدخلاً واحداً ومخرجاً واحداً أي أن |S|=1 و|P|=1. |
| |
تكون مكونات البيان G_1=(V_1,E_1 ) في الشبكة Σ_1 محددة كما في الشكل (1)، حيث: |
| |
المجموعة V_1 تمثل مجموعة العقد في البيان G_1 ومكونة من 2d+2 عقدة بما في ذلك عقدتي الدخل والخرج ولها الشكل: |
| |
V_1={s,a_1,b_1,a_2,b_2,...,a_d,b_d,p} |
| |
تتكون مجموعة الأضلاع E_1 من مجموعتين جزئيتين من الأضلاع A_1,U_1 حيث E_1=A_1+U_1 ولكل منها الشكل: |
| |
 |
| |
|
| |
كل مكون تتابعي D_k^1 (k=1,2,⋯,d) في هذه الشبكة هو المجموعة المكونة من ضلع واحدة من A_1 وتأخذ الشكل: |
| |
D_k^1={(a_k,b_k )} |
| |
ويكون: |
| |
 |
| |
تحمل أضلاع المجموعة A_1 أوزاناً على النحو الآتي: |
| |
|
| |
الجدول (1): أوزان الأضلاع في A_1 |
| |
 |
| |
|
| |
يعبر عن المجموعة U_1 من خلال: |
| |
 |
| |
|
| |
|
| |
لتكن المصفوفة Δ=δ[1:r,1:d] حيث [1≤r≤3^d ]، تأخذ عناصرها δ_(i,k)=δ[i,k] قيمها من المجموعة {-1,0,+1}. |
| |
 |
| |
الشكل (1): الشبكة Σ_1= <S,G_I,P,f> |
| |
ليكن البيان G_1^'=(V_1,A_1+U_1^') بياناً جزئياً من البيان G_1=(V_1,E_1 ) وU_1^'⊆U_1. نقول بأن البيان G^' ينتج السطر δ[i,1:d] من المصفوفة Δ إذا وجد فيه مساراً من s إلى p يحقق الشروط: |
| |
من أجل أي k وk=1,2,⋯,d يعبر المسار الضلع (a_k,b_k) وفق اتجاه السهم إذا كان δ[i,k]=1 وبالعكس إذا كان δ[i,k]=-1. وإذا كان δ[i,k]=0 فإن المسار لا يمر عبر الضلع (a_k,b_k). ونشير إلى أن البيان G_1^' ينتج المصفوفة Δ إذا تحقق فيها أن كل سطر من أسطرها تم انتاجه من خلال البيان G_1^'. |
| |
من المعلوم بأن قيم عناصر المصفوفة Δ تؤخذ من المجموعة {-1,0,+1}. |
| |
ننظر البيان G_1=(V_1,E_1) الموضح بالشكل (2)، فيه d من المكونات التتابعية في كل منها ضلع واحدة. تحمل فيه أضلاع المجموعة A_1 أوزاناً على النحو الآتي: |
| |
الجدول (1): أوزان الأضلاع في A_1 |
| |
 |
| |
|
| |
|
| |
نعبر عن مجموعة الأضلاع U_1 من خلال: |
| |
 |
| |
إن المرور عبر كل ضلع (i,j) من أضلاع البيان G_1 الموجودة في A_1 يكون وفق وزن محدد هو λ_k باتجاه السهم كما في الجدول (1) أو بالوزن 1/λ_k عند عبور الضلع (j,i) في الاتجاه المعاكس وλ_k^0=1 في حال عدم المرور بالضلع. أما الحالات الأخرى لعبور أي ضلع من U_1 وبالطبع هي غير واردة في الجدول (1) فتقابل بالوزن 1. |
| |
يتشكل شعاع الوزن λ من المركبات λ=(λ_1,λ_2,⋯,λ_d ) ذات القيم المختلفة من مجموعة عددية ما Ω ويمكن أيضاً توليدها عشوائياً وسيكون الرمز G_1 (λ) معبراً عن البيان الموزون. |
| |
 |
| |
الشكل (2): Σ_1=<S,G_I,P,f> مع البيان الموزون G_1. |
| |
|
| |
.3 تابع الانتقال (Transmission Function): |
| |
يمثل التابع f_i تابع الانتقال من العقدة s إلى العقدة p وفق المسار i من خلال التعريف: |
| |
f_i (λ)=〖λ_1〗^(δ_i1 ) 〖λ_2〗^(δ_i2 )⋯〖λ_d〗^(δ_id ) (1) |
| |
حيث إن δ_ik∈{-1,0,+1} وk=1,2,⋯,d. |
| |
يمثل المسار i بياناً جزئياً G_1^' من الشبكة المتعددة الأطوارΣ_1=<S,G_I,P,f>. توضح الأمثلة 1 و2 و3 كيفية عمل تابع الانتقال والمسارات التي تنتجه من s إلى p. |
| |
|
| |
مثال1: |
| |
عندما يكون d=1 Σ_1=<S,G_I,P,f> فإن القيم المختلفة لتابع الانتقال من العقدة s إلى العقدة p هي: f_1 (λ)=λ_1 من أجل المرور عبر (1,2) وf_2 (λ)=〖λ_1〗^(-1)=1/λ_1 من أجل المرور عبر (2,1) وf_3 (λ)=1 من أجل عدم عبور الضلع. |
| |
الجدول (2): القيم المختلفة للتابع f_i (λ) من أجل d=2 |
| |
الحالات المختلفة من أجل d=2 في |
| |
Σ_1=<S,G_I,P,f> |
| |
 |
| |
|
| |
مثال 2: |
| |
عندما تكون d=2 في Σ_1=<S,G_I,P,f> فإن القيم المختلفة لتابع الانتقال من العقدة s إلى العقدة p يساوي الى 9 حالات فقط موضحة بالجدول (2). |
| |
|
| |
مثال 3: |
| |
تابع الانتقال من الشكل f_i (λ)=〖λ_1〗^(-1) λ_3 〖λ_5〗^(-1) ينتجه مسار بخمس مكونات تتابعية d=5. من الواضح بأن δ_i4=0 وδ_i2=0. بينما δ_i3=1 وδ_i1=δ_i5=-1. |
| |
|
| |
مبرهنة 1: |
| |
إن العدد الأعظمي S_max للمسارات في الشبكة التالية Σ_1=<S,G_I,P,f> من العقدة s إلى العقدة p التي تنتج قيماً مختلفةً لتابع الانتقال f_i (λ) هو S_max=3^d. |
| |
الإثبات: |
| |
إن عملية الإثبات تتم بالفرض بصحة الحالة d=m وm≥1 حيث إن الحالة m=1 صحيحة وتمت مناقشتها في المثال رقم 1 ولنثبت صحة الحالة m+1. إن الافتراض السابق يقود إلى أن عدد الحالات في الحالة m هو 3^m وفقاً للفرض، وينبثق عن المكون التتابعي التالي m+1 ثلاث إمكانيات لحالات العبور المختلفة للحالات القادمة إليها وهي 3^m حالة من المكون m ما يجعل عدد المسارات وبالتالي قيم تابع الانتقال 3×3^m. وهذا ما يقود إلى صحة المبرهنة السابقة والعدد الأعظمي للمسارات التي تنتج قيماً مختلفة لتابع الانتقال هو: S_max=3^d. |
| |
|
| |
.4 ثانياً: الشبكة Σ_2=<S,G_2,P,f> |
| |
يمكن الانتقال إلى حالة جديدة من الشبكات المتعددة المهام المشابهة للحالة السابقة تمهيداً للنظر في صف أوسع من هذه الشبكات المستخدمة في التطبيقات المختلفة ومعرفة عدد المسارات فيها ودراسة مميزاتها العددية. |
| |
في حالة الشبكة الجديدة Σ_2 نجد أن G_2=(V_2,A_2+U_2 ) يتم فيه استبدال الضلع (a_k,b_k ) بضلعين هما (a_k,c_k ) و(c_k,b_k ) من أجل كل القيم للدليل k=1,2,⋯,d. ويكون لمجموعة الأضلاع A_2 الشكل الاتي: |
| |
A_2= |
| |
{(a_1,c_1 ),(c_1,b_1 ),(a_2,c_2 ),…,(a_d,c_d ),(c_d,b_d )} |
| |
; |A_2 |=2d |
| |
 |
| |
الشكل (3): الشبكة Σ_2=<S,G_2,P,f> |
| |
وللمجموعة U_2 الشكل: |
| |
 |
| |
|
| |
إن عدد العقد المستخدمة في الشبكة Σ_2 هو 3d+2 عقدة. |
| |
يوضح الشكل (3) الشبكة الجديدة Σ_2. |
| |
توضيح 1: |
| |
تم تحديد عقدتين: s كمدخل للشبكة وp مخرج لها أي أن |S|=1 و|P|=1. |
| |
توضيح 2: |
| |
يخضع عبور الضلع في Σ_2 إلى ذات الافتراضات التي استخدمت في حالة الشبكة السابقة Σ_1. |
| |
كما أن شعاع الوزن للأضلاع في المكونات التتابعية A_2 هو λ=(λ_1,λ_2,⋯,λ_2d ) لوجود ضلعين في كل مكون تتابعي. |
| |
مثال 4: |
| |
إذا تم توزين أضلاع المجوعة A_2 في الشبكة Σ_2 من أجل d=1 وهي A_2=D_1^2={(a_1,c_1 ),(c_1,b_1 )} من خلال λ_1,λ_2 على الترتيب، بالتالي تكون الحالات المختلفة لتابع الانتقال في الحالة الخاصة الموافقة d=1 موضحة في الجدول (3) وعددها 7 حالات فقط. |
| |
 |
| |
الشكل(4): الشبكة Σ_2 (الحالة d=1). |
| |
|
| |
الجدول (3): القيم المختلفة للتابع f_i (λ) من أجل d=1 في حالتين. |
| |
الحالات المختلفة من أجل d=1 في Σ_2 |
| |
 |
| |
|
| |
|
| |
نتيجة 1: |
| |
إن التغير في كيفية ارتباط الضلعين في مكون الارتباط ببعضهما سوف لن يغير في عدد حالات تابع الانتقال بل سيكون التغير في قيم تابع الانتقال. فإذا كانت D_1^2={(a_1,c_1 ),(b_1,c_1 )} في المثال 4 يبقى عدد الحالات كما هو مبين في الجدول (3) دون تغيير بينما الاختلاف هو بقيم تابع الانتقال عن الحالة السابقة الواردة في ذات المثال. |
| |
|
| |
توضيح 3: |
| |
إن عدد الحالات المختلفة لتابع الانتقال من أجل d=2 في G_2 هو 49. يكبر عدد هذه الحالات المختلفة لتابع الانتقال عندما تزداد قيمة d. في حالة d=10 يكون عدد الحالات المختلفة لقيم تابع الانتقال في Σ_2 هو 282,475,249 حالة!. هذا يعكس الأهمية الكبيرة جداً لهذه البيانات في تمثيل النظم المعقدة ونمذجتها. |
| |
|
| |
مبرهنة 2: |
| |
إن العدد الأعظمي S_max للمسارات في الشبكة Σ_2=<S,G_2,P,f> من العقدة s إلى العقدة p التي تولد قيماً مختلفةً لتابع الانتقال f_i (λ) هو S_max=7^d. |
| |
الإثبات: |
| |
بالأسلوب ذاته المتبع في المبرهنة (1) نستخدم الاستقراء الرياضي بالفرض بصحة الحالة d=m وm≥1 حيث إن الحالة m=1 صحيحة وتمت مناقشتها في المثال 4 ولنثبت صحة الحالة m+1. إن الافتراض السابق يقود إلى أن عدد الحالات من أجل m هو 7^m كناتج للحالة المحددة والصحيحة فرضاً، وينبثق عن المكون التتابعي m+1 التالي 7 إمكانيات لحالات العبور المختلفة للحالات القادمة إليها وهي 7^m حالة من المكون m ما يجعل عدد المسارات وبالتالي قيم تابع الانتقال 7×7^m. وهذا ما يقود إلى صحة المبرهنة السابقة والعدد الأعظمي للمسارات التي تنتج قيماً مختلفة لتابع الانتقال S_max=7^d. |
| |
|
| |
للمصفوفة Δ في حالة الشبكة Σ_2=<S,G_2,P,f> الشكل حيث [1≤r≤7^d ]، وتأخذ عناصرها δ_(i,k)=δ[i,k] قيماً من المجموعة {-1,0,+1} وفقاً لكيفية المرور في أضلاع A_2 وبذات الأسلوب الذي تمت الإشارة له فيما سبق عند دراسة البيان Σ_1. |
| |
|
| |
توضح المبرهنات (3 و4) الآتية التغير في عدد المسارات عندما يكون للشبكة عدة مداخل |S|=m وعدة مخارج |P|=n. |
| |
|
| |
مبرهنة 3: |
| |
إذا كان |S|=m و|P|=n في الشبكة Σ_1=<S,G_2,P,f> فإن العدد الأعظمي للمسارات من العقدة s إلى العقدة p التي تولد قيم تابع الانتقال f_i (λ) هو (mn) 3^d. |
| |
الإثبات: |
| |
بالعودة إلى المبرهنة (1) فإنه من أجل شبكة من ذات النوع بمدخل ومخرج وحيدين فإن عدد الحالات الممكنة S_max=3^d. وسيتولد العدد نفسه من أجل كل مدخل ومخرج جديدين من مجموعتي المداخل والمخارج للشبكة وبما أن |S|=m و|P|=n فإنه يترتب على ذلك توليد (mn)3^d من الحالات. |
| |
|
| |
مبرهنة 4: |
| |
إذا كان |S|=m و|P|=n في الشبكة Σ_2=<S,G_2,P,f> فإن العدد الأعظمي للمسارات من العقدة s إلى العقدة p التي تولد قيم تابع الانتقال f_i (λ) هو (mn)7^d. |
| |
الإثبات: |
| |
بالعودة إلى المبرهنة (2) وبشكل مشابه للإثبات الوارد للمبرهنة (2) فإنه من أجل شبكة من ذات النوع بمدخل ومخرج وحيدين فإن عدد المسارات الممكنة S_max=7^d، وسيتولد العدد نفسه من أجل كل مدخل ومخرج جديدين من مجموعتي المداخل والمخارج للشبكة. وبما أن |S|=m و|P|=n فإنه يترتب على ذلك توليد (mn)7^d من المسارات. |
| |
|
| |
.5 النتائج والمناقشة: |
| |
1- المبرهنة 1 هي حالة خاصة من المبرهنة 3 والمبرهنة 2 هي حالة خاصة من المبرهنة 4 عندما يكون للشبكة مدخل ومخرج وحيدين. |
| |
2- إن عدد القيم لتابع الانتقال الممكنة في المبرهنة (3) لا يتضمن قيماً جديدة أخرى عما نتج من قيم لهذا التابع في المبرهنة (1) والقيم الجديدة والتي عددها (mn)3^d سوف تكون تكراراً للقيم السابقة وعددها 3^d. |
| |
3- إن عدد القيم لتابع الانتقال الممكنة في المبرهنة (4) لا يتضمن قيماً جديدة أخرى عما نتج من قيم لهذا التابع في المبرهنة (2) والقيم الجديدة والتي عددها (mn)7^d سوف تكون تكراراً للقيم السابقة وعددها 7^d. |
| |
4- لننظر في الشبكة من الشكل Σ_2=<S,G_2,P,f> حيث حدد فيها ثلاث عقد كمداخل m=3 وعقدتين كمخارج n=2 كما في الشكل (5). للشبكة Σ_2 ذات ثلاثة مداخل ومخرجين، فإن عدد المسارات (6)×7^d. |
| |
 |
| |
الشكل (5): الشبكة Σ_2 (m=3 وn=2) |
| |
5- نشير إلى بعض النتائج التي تم استخلاصها عند تحديد بعض المميزات العددية في Σ_1 وΣ_2 مثل عدد الأضلاع في كل منهما وعدد المسارات وغيرها من المميزات الأخرى وفق الجدول (4) الآتي: |
| |
|
| |
الجدول (4): المميزات العددية في Σ_1 وΣ_2. |
| |
 |
| |
|
| |
|
| |
6- تم استخدام الاستقراء الرياضي في إثبات صحة المبرهنتين (1 و2). |
| |
إن ما تم التوصل إليه من نتائج في دراسة هذا النوع من الشبكات المتعددة المهام يفسح المجال لاستخدامها في مجالات متعددة ويمكن من إجراء تعميم لهذه النتائج لصف واسع من الشبكات المتعددة الوظائف والأطوار خصوصاً أنها تتيح إمكانية كبيرة لتمثيل ونمذجة النظم المعقدة ذات البنى المتغيرة. |
| |
|
| |
.6 المراجع References:
I. Fattash and others, “About Synthesis of Change Structure Systems”, Mathematical Models N.3, SPBU, 2003, P:3-23.
I. Fattash, «Some numerical characteristics of graphs G and Γ during synthesis systems process”, Al-Furat Univ., CMA,13-14 march, 2023, p:21.
Luis B. Morales “The maximum number of columns in E(S) optimal supersaturated designs with 16 rows and S_max=4 is 60”, Combinatorial Designs, 2023.
J. A. Bondy & U. S. R. Murty, “Graph theory with applications”, North-Holland, 1982.
Dieter Jungnickel, “Graphs, Networks and Algorithms, Algorithms and Computation in Mathematics”, Vol. 5, Springer Verlag, Berlin,2005.
|
| |
|
| |
    |
